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Les objectifs

• comprendre l'expression avoir même aire et construire (par assemblage) des surfaces de même aire qu'une surface donnée
  comparer, classer, ranger des surfaces (par inclusion / superposition ou pavage) et donner du sens à l'expression avoir même air que,
• comparer des surfaces sur quadrillage par comptage de carreaux,
  savoir comparer deux surfaces du point de vue de leur aire et réinvestir des procédures de comparaison : inclusion, superposition, pavage et / ou les mesures (l'unité d'air étant à choisir).
• être capable d'exprimer la mesure d'aire d'une surface (par pavage ou autre procédure), une unité étant choisie et de comprendre que la mesure dépend du choix de l'unité.
• comprendre et expliquer que la mesure d'aire dépend de l'unité choisie,
• savoir utiliser un formulaire pour calculer l'aire d'un triangle.

Les variables didactiques

• nature du support : livre, tableau (pas de coupage), feuille,
• support papier : quadrillage, blanc,
• matériel disponible : ciseau, carré étalon, papier calque,
• forme des figures : complexité (visuellement différentes).

Les erreurs des élèves

• confusion entre surface, aire et mesure d'aire,
  • la notion d'aire n'est pas dégagée de celle de surface : "des surfaces des formes différentes ont des aires différentes",
  • la mesure de l'aire est confondue avec l'aire : "la mesure de l'aire est un nombre attaché à la surface qui ne dépend pas du choix de l'unité",
  • l'unité d'aire est identifiée à une surface particulière : "un cm2 est un carré de 1 cm de côté, un carré de ½ cm de côté c'est ½ cm2" ; "on ne peut obtenir l'aire en cm2 que si on peut paver la surface avec des carrés de 1 cm de côté".
• les notions d'aire et de périmètre ne sont pas différenciées :
  • "si le périmètre d'une surface augmente, alors son aire aussi": conception due au fait que la forme de la surface est conservée,
  • "si deux surfaces ont le même périmètre, alors elles ont la même aire",
  • si la surface est constituée de deux figures dont on a le périmètre : "pour avoir le périmètre de l'ensemble, il faut ajouter les périmètres".
• calculer des aires :
  • difficulté à reconnaître des figures simples,
  • difficulté à reconnaître une surfigure,
  • difficulté dans l'utilisation des formules.
• la gestion de la double proportionnalité pour l'aire présente des difficultés :
  • dans les situations de changement d'unité,
  • dans les situations d'agrandissement / de réduction.
• erreurs dans la reconstitution de carreaux entiers,
• confusion entre aire et encombrement

Schéma de progression

1. Comparaison de surfaces, notion d'aire au CM1

Introduction :
Objectif : donner du sens à l'expression avoir même aire : 2 surfaces superposables occupent autant de place dans le plan, 2 surfaces différentes peuvent occuper autant de place dans le plan et donc avoir même aire.
Activité : comparaison de surface sans intervention du nombre
Procédure : découpage, recollage d'une des surfaces, puis superposition avec l'autre.

Différentes méthodes de comparaison de surfaces :

• comprendre et utiliser l'expression avoir même aire, comparer et ranger des surfaces selon leur aire,
• faire comparer, classer, ranger des surfaces selon leur aire,
• inclusion, superposition, découpage, collage, pavage ou comptage de carreaux, pesée.

Différencier aire et périmètre : permettre aux enfants de comprendre que deux surfaces de même aire n'ont pas toujours le même périmètre et que la variation du périmètre est indépendante de celle de l'aire.

2. Aire, mesure d'aire :

• pavage, unité d'aire, mesure d'aires,
• le système métrique au CM2 : le cm2, les autres (dm2, m2, équivalence entre deux unités).

3. les formules des aires usuelles : on amènera les enfants à les découvrir et à les associer a des constructions, des représentations géométriques.